Question

（2013•海淀區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²-2mx+m²+m的頂點(diǎn)為C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）直線y=x+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線的對稱軸左側(cè)．
①若P為直線OC上一動點(diǎn)，求△APB的面積；
②拋物線的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)M，作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對稱點(diǎn)B'．以M為圓心，MC為半徑的圓上存在一點(diǎn)Q，使得QB′+

2

2

QB的值最小，則這個(gè)最小值為

10

．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①聯(lián)立直線與拋物線求出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出AB的長，再根據(jù)AB∥OC求出兩平行線間的距離，最后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
②根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AM、BM的長，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得到⊙M的半徑為2，取MB的中點(diǎn)N，連接QB、QN、QB′，然后利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等兩三角形相似求出△MNQ和△MQB相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出QN=

2

2

QB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊判斷出Q、N、B′三點(diǎn)共線時(shí)QB′+

2

2

QB最小，然后噶呢句勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵y=x²-2mx+m²+m=（x-m）²+m，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（m，m）．

（2）①∵y=x+2與拋物線y=x²-2mx+m²+m交于A、B兩點(diǎn)，
∴聯(lián)立

y=x2-2mx+m2+m y=x+2

，
解得

x1=m-1 y1=m+1

，

x2=m+2 y2=m+4

，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AB=

(m-1-m-2)2+(m+1-m-4)2

=3

2

，
∵直線OC的解析式為y=x，直線AB的解析式為y=x+2，
∴AB∥OC，兩直線AB、OC之間距離h=2×

2

2

=

2

，
∴S_△APB=

1

2

AB•h=

1

2

×3

2

×

2

=3；

②∵A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AM=1×

2

=

2

，BM=2×

2

=2

2

，
由M點(diǎn)坐標(biāo)（m，m+2），C點(diǎn)坐標(biāo)（m，m）可知以MC為半徑的圓的半徑為 （m+2）-m=2
取MB的中點(diǎn)N，連接QB、QN、QB′，
則MN=

1

2

BM=

1

2

×2

2

=

2

，
∵

MN

QM

=

QM

BM

=

2

2

，∠QMN=∠BMQ，
∴△MNQ∽△MQB，
∴

QN

QB

=

MN

QM

=

2

2

，
∴QN=

2

2

QB，
由三角形三邊關(guān)系，當(dāng)Q、N、B′三點(diǎn)共線時(shí)QB′+

2

2

QB最小，
∵直線AB的解析式為y=x+2，
∴直線AB與對稱軸夾角為45°，
∵點(diǎn)B、B′關(guān)于對稱軸對稱，
∴∠BMB′=90°，
由勾股定理得，QB′+

2

2

QB最小值=

B′M2+MN2

=

(2 2 )2+ 2 2

=

10

．
故答案為：

10

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)解析式的轉(zhuǎn)化，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積的求解，相似三角形的判定與性質(zhì)，本題難點(diǎn)在于（2）②，作輔助線構(gòu)造出相似三角形并得到與

2

2

QB相等的線段是解題的難點(diǎn)，也關(guān)鍵．