Question

（2013•寧波）如圖，等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=2

2

，反比例函數y=

3

x

（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E．連結DE，當△BDE∽△BCA時，點E的坐標為

（

3

2

2

，

2

）

．

Answer 1

分析：由相似三角形的對應角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根據反比例函數圖象上點的坐標特征可設E（a，

3

a

），D（b，

3

b

），由雙曲線的對稱性可以求得ab=3；最后，將其代入直線AD的解析式即可求得a的值．

解答：解：如圖，∵∠BCA=90°，AC=BC=2

2

，反比例函數y=

3

x

（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可設E（a，

3

a

），D（b，

3

b

），
∴C（a，0），B（a，2

2

），A（a-2

2

，0），
∴易求直線AB的解析式是：y=x+2

2

-a．
過點O作一，三象限的角平分線即直線y=x，
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直線y=x與直線DE垂直，
∴點D、E關于直線y=x對稱，則

a+b

2

=

3 a + 3 b

2

，即ab=3．
又∵點D在直線AB上，
∴

3

b

=b+2

2

-a，即2a²-2

2

a-3=0，
解得，a=

3

2

2

，
∴點E的坐標是（

3

2

2

，

2

）．
故答案是：（

3

2

2

，

2

）．

點評：本題綜合考查了相似三角形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象上的點的坐標特征、待定系數法求一次函數的解析式．解題時，注意雙曲線的對稱性的應用．