Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，邊長為1的正方形的一個頂點D在邊AC上，與△ABC另兩邊分別交于點E、F，DE∥AB，將正方形平移，使點D保持在AC上（D不與A重合），設AF=x，正方形與△ABC重疊部分的面積為y．
（1）求y與x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍；
（2）x為何值時y的值最大？
（3）x在哪個范圍取值時y的值隨x的增大而減小？

Answer 1

分析：（1）當點D保持在AC上時，正方形與△ABC重疊部分為直角梯形DEBF，根據直角梯形的面積公式，只需用含x的代數式分別表示出上底DE、下底BF及高DF的長度即可．由△ADF為等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；則AD=

2

x，下底BF=AB-AF=1-x；進而得出CD=AC-AD=1-

2

x，再根據等腰三角形及平行線的性質可證∠C=∠CED，得出上底DE=CD1-

2

x；根據點D保持在AC上，且D不與A重合，可知0＜AD≤1，從而求出自變量x的取值范圍；
（2）由（1）知，y是x的二次函數，根據二次函數的性質，可知當x=-

b

2a

時，y的值最大；
（3）根據二次函數的增減性，當a＜0時，在對稱軸x=-

b

2a

的右側，y的值隨x的增大而減小．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．（2分）
在Rt△ADF中，∵∠A=45°，
∴∠ADF=45°=∠A，
∴AF=DF=x，
∴AD=

x

cos45°

=

2

x，（3分）
∴DC=DE=1-

2

x，（4分）
∴y=

1

2

（DE+FB）×DF=

1

2

（1-

2

x+1-x）x=-

1

2

（

2

+1）x²+x．
∵點D保持在AC上，且D不與A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜

2

x≤1，
∴0＜x≤

2

2

．
故y=-

1

2

（

2

+1）x²+x，自變量x的取值范圍是0＜x≤

2

2

；（8分）

（2）∵y=-

1

2

（

2

+1）x²+x，
∴當x=-

1

2×(- 1 2 )( 2 +1)

=

2

-1＜

2

2

時，y有最大值；（10分）

（3）∵y=-

1

2

（

2

+1）x²+x，0＜x≤

2

2

，-

1

2

＜0，
∴當

2

-1≤x≤

2

2

時，y隨x的增大而減小．（14分）

點評：本題考查了正方形、平行線的性質，等腰三角形的性質與判定，直角梯形的面積及二次函數的性質，綜合性較強，難度中等．