Question

【題目】已知一次函數y= kx+b的圖象與反比例函數的圖象相交于A，B兩點， 其中A點的橫坐標與B點的縱坐標都是2，如圖：

（1）求這個一次函數的解析式；

（2）在y軸是否存在一點P使△OAP為等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x-2；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）首先根據反比例函數解析式分別求出A、B兩個點的坐標，再設一次函數解析式為一般形式，將兩個點的坐標代入求出未知參數即可；（2）分三種情況，①OA=OP, ②OA=AP，③ OP=AP，結合圓對每個情況依次求解即可.

試題解析：

（1）反比例函數y=的圖象經過A，B兩點，且A點的橫坐標與B點的縱坐標都是2；

∴當x=2時，y =－4；當y=2時，x=－4

∴A點的坐標為（2，－4），B點的坐標為（－4，2）；

∵y=kx+b（k≠0）經過A，B兩點；

∴把A（2，－4），B（－4，2）代入y=kx+b（k≠0）得：

，

解得：k=－1，b=－2；

把k=－1，b=－2代入y=k x+b（k≠0）得：y=－x－2；

（2）OA==2，OB==2.

假設存在點P，使△OAP為等腰三角形，分三種情況，

OA=OP，以O為圓心，OA的長為半徑畫圓弧，與y軸的交點即為符合條件的點P，則P1(0， ) ， P2 (0， ) ；

OA=AP，以A為圓心，OA為半徑畫圓弧，與y軸的交點即為符合條件的點P，作AD⊥y軸交y軸與點D，

∴OD=DP3=4，

∴P3（0，－8）；

OP=AP，作OA的垂直平分線分別交y軸于點P4，交AO于點E，垂直平分線與y軸的交點即為符合條件的點P.

∴OE=，

∵cos∠EOP4==，

∴=，

∴OP4=，

∴P4 (0， ).