Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點E，F分別在AC，AB上，EF∥BC，將△AEF向上翻折，得到△A′EF，再展開．
（1）求證：四邊形AEA′F是菱形；
（2）直接寫出當等腰△ABC滿足什么條件時，四邊形AEA′F將變成正方形？
（3）當點A′恰好落在BC上時，直接寫出EF與BC的數量關系．

Answer 1

解：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠C，∠B=∠AFE．
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∵AE=EA′，AF=FA′，
∴A′E=AE=AF=A′F，
∴四邊形AEA′F是菱形．

（2）當等腰△ABC的頂角為90°時，四邊形AEA′F是正方形．

（3）EF=BC．
分析：（1）由題意易得△AEF為等腰三角形，AE=EA′，AF=FA′，所以四邊形AEA′F是菱形；
（2）因為有一角為直角的菱形是正方形，故當等腰△ABC的頂角為90°時，四邊形AEA′F是正方形；
（3）當點A′恰好落在BC上時，高為一半，則EF是中位線，所以EF=BC．
點評：本題考查圖形的折疊與拼接，同時考查了三角形、四邊形等幾何基本知識，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析．