Question

函數y=-x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，動點M在x軸的正半軸上，N為OM的中點，過M、N分別作x軸的垂線，交直線于點P、Q，設N點的坐標為（x，0）．
（1）直接寫出M點的坐標（______，______）；
（2）如圖1，若點M在線段OA上運動，用含x的代數式表示四邊形MPNQ的面積；
（3）如圖2，已知C（8，0），D為AC的中點，若點M在線段CD（含線段的端點）上運動，求線段MP、NQ與直線y=-x+4、x軸所圍成的圖形的面積的最大值．

Answer 1

解：（1）由M，N關系可直接得出M點坐標為（2x，0）；

（2）將M，N坐標代入直線方程，得y_Q=-x+4，y_P=-2x+4，
四邊形MPNQ的面積為（-3x+8）x；

（3）由（2）得S_MPQN=-，
令y=0得A點坐標為（4，0），C點坐標為（8，0）?D（6，0），
則6＜2x＜8?3＜x＜4，顯然當x=4時有最大值8．
分析：（1）由M，N關系可直接得出M點坐標；
（2）將M，N坐標代入直線方程，可求出Q，P點的縱坐標，由梯形面積公式可得答案；
（3）由（2）可得四邊形面積函數，通過配方法可得最大值．
點評：本題涉及一次函數的綜合應用，難度中等