Question

 已知拋物線（其中a ≠ c且a ≠0）.

   （1）求此拋物線與x軸的交點坐標；（用a，c的代數式表示）

（2）若經過此拋物線頂點A的直線與此拋物線的另一個交點為，

     求此拋物線的解析式；

（3）點P在（2）中x軸上方的拋物線上，直線與 y軸的交點為C，若

，求點P的坐標；

（4）若（2）中的二次函數的自變量x在n≤x＜（n為正整數）的范圍內取值時，記它的整數函數值的個數為N， 則N關于n的函數關系式為        .

Answer 1

解：（1）拋物線與x軸交點的橫坐標是關于x的方程（其中a ≠ 0，a ≠c）的解.

          解得 ，.

∴ 拋物線與x軸交點的坐標為，.

（2）拋物線的頂點A的坐標為.

① ② ③

        ∵ 經過此拋物線頂點A的直線與此拋物線的另一個交點為，

   

      由③得 c =0.

將其代入①、② 得  

解得 .

      ∴ 所求拋物線的解析式為 .

（3）作PE⊥x軸于點E， PF⊥y軸于點F.（如圖7）

拋物線的頂點A的坐標，

點B的坐標為，點C的坐標為.

設點P的坐標為.

∵ 點P在x軸上方的拋物線上，

∴ ，且0＜m＜1，.

∴ ，.

∵ ，

∴ .

解得 m=2n，或（舍去）.

將m=2n代入，得.

解得，（舍去）.

∴ .

∴ 點P的坐標為.

    （4）N關于n的函數關系式為N=4n . 

說明：二次函數的自變量x在n≤x＜（n為正整數）的范圍內取值，此時y隨x的增大而減小，

∴ ＜y≤，

其中的整數有，，….

              .