Question

由四邊形各邊中點組成的四邊形稱為“中點四邊形”．如圖，在四邊形ABCD中，已知E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA各邊的中點．
（1）觀察并猜想中點四邊形EFGH的形狀？并證明你的結論；
（2）在（1）的條件下，當對角線AC=BD時，中點四邊形EFGH的形狀又是什么呢？請說明理由．
（3）直接寫出：①菱形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀是

 

；
②對角線相等且互相垂直的四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀是

 

．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BD，根據三角形的中位線定理可以證明EH與FG都平行且等于BD的一半，再根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；
（2）根據三角形的中位線定理以及AC=BD可以證明EF=FG=GH=EH，再根據四條邊都相等的四邊形是菱形解答；
（3）①根據菱形的對角線互相垂直，可得平行四邊形EFGH的一個角是直角，從而判斷是矩形；
②根據對角線相等可知平行四邊形EFGH是菱形，互相垂直可知平行四邊形EFGH是矩形，從而得到四邊形EFGH是正方形．

解答：解：（1）觀察猜想：四邊形EFGH是平行四邊形．
證明：如圖，連接AC、BD，
∵E、F、G、H是四邊形ABCD各邊中點，
∴EH=FG=

1

2

BD，EH∥FG∥BD，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）由（1）可知，同理可證EF=HG=

1

2

AC，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四邊形EFGH是菱形；

（3）①矩形；②正方形．

點評：本題考查了三角形的中位線定理與“中點四邊形”的知識，連接對角線，構造出三角形是解題的關鍵，熟記對角線與“中點四邊形”的關系對今后的解題會大有幫助．