Question

如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：
（1）畫AD∥BC（D為格點），連接CD；
（2）線段CD的長為

5

，AC的長為

2

5

；
（3）請你在△ACD的三個內角中任選一個銳角，若你所選的銳角是

∠CAD

，則它所對應的正弦函數值是

5

5

；
（4）若E為BC中點，F為AD中點．則tan∠CAE的值是

1

2

，四邊形AECF的形狀為

菱形

，面積為

5

．

Answer 1

分析：（1）根據B到A是向右2格向上1個，所以從點C向右2格向上1格，即為點D所在的格點位置；
（2）根據網格結構以及勾股定理列式進行計算即可求解；
（3）根據勾股定理求出AD的長度，然后根據勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后選擇一個角，再根據正弦定義解答；
（4）利用網格結構，根據正切定義列式進行計算即可求解，根據圖形可以判定四邊形AECF是平行四邊形，然后證明AE=AF，從而得到四邊形AECF是菱形，求出CF的長，以及CF邊上的高，然后根據菱形的面積公式列式計算即可．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）CD=

12+22

=

5

，
AC=

42+22

=2

5

；

（3）選∠CAD，則∵AD=

42+32

=5，
∴CD²+AC²=（

5

）²+（2

5

）²=25=AD²，
∴△ACD是直角三角形，
∴若選∠CAD，則sin∠CAD=

CD

AD

=

5

5

，
若選∠ADC，則sin∠ADC=

AC

AD

=

2 5

5

；

（4）tan∠CAE=

2

4

=

1

2

，
根據圖形，四邊形ABCD是平行四邊形，
∵E為BC中點，F為AD中點，
∴AF∥CE且AF=CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵CF=

1

2

AD=AF=

5

2

（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴平行四邊形AECF是菱形，
∴S=

5

2

×2=5．

點評：本題考查了復雜作圖，勾股定理，勾股定理逆定理，以及解直角三角形，熟悉網格結構準確作出圖形是解題的關鍵．