Question

如圖1，點A是直線y=kx（k＞0，且k為常數）上一動點，以A為頂點的拋物線y=（x-h）²+m交直線y=kx于另一點E，交y軸于點F，拋物線的對稱軸交x軸于點B，交直線EF于點C．（點A，E，F兩兩不重合）
（1）請寫出h與m之間的關系；（用含的k式子表示）
（2）當點A運動到使EF與x軸平行時（如圖2），求線段AC與OF的比值；
（3）當點A運動到使點F的位置最低時（如圖3），求線段AC與OF的比值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線頂點（h，m）在直線y=kx上，
∴m=kh；

（2）方法一：解方程組，
將（2）代入（1）得到：（x-h）²+kh=kx，
整理得：（x-h）[（x-h）-k]=0，
解得：x₁=h，x₂=k+h，
代入到方程（2）y₁=hy₂=k²+hk，
所以點E坐標是（k+h，k²+hk），
當x=0時，y=（x-h）²+m=h²+kh，
∴點F坐標是（0，h²+kh），
當EF和x軸平行時，點E，F的縱坐標相等，
即k²+kh=h²+kh，
解得：h=k（h=-k舍去，否則E，F，O重合），
此時點E（2k，2k²），F（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²），
∴AC：OF=k²：2k²=1：2．
方法二：當x=0時，y=（x-h）²+m=h²+kh，即F（0，h²+kh），
當EF和x軸平行時，點E，F的縱坐標相等，
即點E的縱坐標為h²+kh，
當y=h²+kh時，代入y=（x-h）²+kh，
解得x=2h（0舍去，否則E，F，O重合），
即點E坐標為（2h，h²+kh），
將此點橫縱坐標代入y=kx得到h=k（h=0舍去，否則點E，F，O重合），
此時點E（2k，2k²），F（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²），
∴AC：OF=k²：2k²=1：2．
方法三：∵EF與x軸平行，
根據拋物線對稱性得到FC=EC，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=EC：EF=1：2．

（3）當點F的位置處于最低時，其縱坐標h²+kh最小，
∵h²+kh=[h²+kh+（）²]-，
當h=，點F的位置最低，此時F（0，-），
解方程組
得E（，），A（-，-）．
方法一：設直線EF的解析式為y=px+q，
將點E（，），F（0，-）的橫縱坐標分別代入得，
解得：p=，q=-，
∴直線EF的解析式為y=x-，
當x=-時，y=-k²，即點C的坐標為（-，-k²），
∵點A（-，-），
∴AC=，而OF=，
∴AC=2OF，即AC：OF=2．
方法二：∵E（，），A（-，-），
∴點A，E關于點O對稱，
∴AO=OE，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=AE：OE=2：1．
分析：（1）根據點A在直線y=kx上，即可得出h，m的關系式．
（2）當EF∥x軸時，根據拋物線的對稱性可知：FC=CE即C是EF的中點，那么AC就是三角形OEF的中位線，因此AC=OF．
（也可通過聯立直線OA的解析式和拋物線的解析式得出E點的坐標，當EF∥x軸時，E、F縱坐標相同，以此來求出h，k的關系，進而表示出A、C、E、F四點坐標以此來求出AC與OF的比例關系）．
（3）先求出F到最低位置時，函數的解析式（F位置最低時，縱坐標值最小）．聯立兩函數的解析式求出A、E的坐標，然后根據相似三角形OEF和AEC求出OF，AC的比例關系．
點評：本題主要考查了函數圖象交點、相似三角形的性質等知識點．