Question

探究下表中的奧秘，并完成下面的問題：

一元二次方程	兩個根	兩根的和與兩根的積
x2 -2x+1=0	x1=1，x2=1	x1+x2=2，x1•x2=1
3x2 +x-2=0	x1= 2 3 ，x 2=-1	x1+x2=- 1 3 ，x1•x2=- 2 3
2x2 +5x+2=0	x1=- 1 2 ，x2=-2	x1+x2=- 5 2 ，x1•x2=1

（1）將你發現的結論一般化，并寫出來；
（2）運用上述結論解決下面的問題：已知x的一元二次方程x²-mx+2m-1=0的兩個實數根的平方和為23，求m的值．

Answer 1

分析：（1）兩根之和一次項系數與二次項系數商的相反數，兩根之積是常數項與二次項系數的商．
（2）依據x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，根據根與系數之間的關系得到兩根之和與兩根之積，代入即可得到關于m的方程，即可求得m的值．

解答：解：（1）設ax²+bx+c=0a≠0，且a，b，c是常數）的兩個實數根為x₁，x₂．
則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；


（2）設方程x²-mx+2m-1=0的兩個實數根為x₁、x₂，由（1）可知x₁+x₂=m，x₁•x₂=2m-1．
∵x₁²+x₂²=23
即（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=23．
∴m²-2（2m-1）=23
解得：m₁=7，m₂=-3．
∵當m=7時，原方程無實數解，應舍去．
∴當m=-3時，方程的兩個實數根的平方和為23．

點評：本題是閱讀題，通過觀察方程的兩根的和與兩根的積的特點，得到一元二次方程根與系數的關系，進而應用解決問題，第二個題解決的關鍵是根據x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，把求m的值的問題轉化為解方程得問題．