Question

6．如圖，以點P（-1，0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點（B在C的左側），交y軸于A、D兩點（A在D的下方），AD=2$\sqrt{3}$，將△ABC繞點P旋轉180°，得到△MCB．
（1）求B、C兩點的坐標；
（2）點E是線段MC（不包括兩端點）上的動點，連接BE，點Q為BE的中點，過點E作EG⊥BC于G，連接MQ、QG．在點E運動過程中，∠MQG的大小是否發生變化？如果發生變化，說明理由；如果不變，求出∠MQG的度數．

Answer 1

分析 （1）通過垂徑定理，求出圓的半徑，結合點P的坐標即可求出點B、點C的坐標；
（2）由旋轉性質和點的坐標，可以求出三角形ABC和三角形BCM所有角的度數，利用點的坐標和相應角的度數判定點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，進而可以求出∠MQG=2∠MBG=120°．

解答 解：（1）連接PA：
∵PO⊥AD，
∴AO=DO．
∵AD=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$．
∵點P坐標為（-1，0），
∴OP=1．
∴PA=2．
∴BP=CP=2．
∴B（-3，0），C（1，0）．

（2）∠MQG的大小不發生變化，∠MQG=120°．
∵△ABC繞點P旋轉180°，
∴∠BMC=90°．∠MBC=∠BCA
∵∠COA=90°，OC=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴tan∠OCA=$\sqrt{3}$．
∴∠OCA=60°．
∴∠MBC=∠BCA=60°．
∵EG⊥BO，
∵∠BGE=90°．
∴∠BMC=∠BGE=90°．
∵點Q是BE的中點，
∴QM=QE=QB=QG．
∴點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖2所示．
∴∠MQG=2∠MBG=120°．

點評 題目考查了圓的綜合性質，通過圓與三角形旋轉的結合，考查學生對圓綜合性質的考查，題目整體較難，適合學生課后培優訓練．