Question

如圖，△OAB的底邊與⊙O相切，切點為C，且OA=OB，⊙O與OA、OB分別交于D、E兩點，D、E分別為OA、OB的中點．
（1）求∠AOB的度數；
（2）若陰影部分的面積為，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由AB與圓O相切，得到OC垂直于AB，再由OA=OB，得到OC為角平分線，再由D、E分別為OA、OB的中點，得到OD=AD=OE=EB，即OC為OA的一半，OC為OB的一半，可得出∠A=∠B=30°，即可求出∠AOB=120°；
（2）設OC=r，可得出OA=2r，利用勾股定理表示出AC，進而確定出AB的長，由三角形OAB的面積-扇形DOE的面積表示出陰影部分面積，分別利用三角形及扇形的面積公式，以及已知陰影部分的面積列出關于r的方程，求出方程的解即可得到圓O的半徑r．
解答：解：（1）連接OC，
∵AB與圓O相切，
∴OC⊥AB，
∵D、E分別為OA、OB的中點，
∴AD=OD=OE=EB，
在Rt△AOC中，OC=OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠AOB=120°；

（2）設圓O的半徑為r，可得OA=OB=2r，
在Rt△AOC中，利用勾股定理得：AC=r，
∴AB=2AC=2r，
則S_陰影=S_△AOB-S_扇形DOE=×2r•r-=r²-=-，
∴r²=1，即r=1，
則圓O的半徑為1．
點評：此題考查了切線的性質，含30°直角三角形的性質，勾股定理，以及扇形的面積公式，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．