Question

如圖，△OAB的底邊經過⊙O上的點C，且OA=OB，CA=CB，⊙O與OA、OB分別交于D、E兩點．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若D為OA的中點，陰影部分的面積為

3

-

π

3

，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析：（1）連OC，由OA=OB，CA=CB，根據等腰三角形的性質得到OC⊥AB，再根據切線的判定定理得到結論；
（2）由D為OA的中點，OD=OC=r，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到∠A=30°，∠AOC=60°，AC=

3

r，則∠AOB=120°，AB=2

3

r，利用S_陰影部分=S_△OAB-S_扇形ODE，根據三角形的面積公式和扇形的面積公式得到關于r的方程，解方程即可．

解答：（1）證明：連OC，如圖，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：∵D為OA的中點，OD=OC=r，
∴OA=2OC=2r，
∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC=

3

r，
∴∠AOB=120°，AB=2

3

r，
∴S_陰影部分=S_△OAB-S_扇形ODE=

1

2

•OC•AB-

120•π•r2

360

=

3

-

π

3

，
∴

1

2

•r•2

3

r-

π

3

r²=

3

-

π

3

，
∴r=1，
即⊙O的半徑r為1．

點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系以及扇形的面積公式．