Question

如圖，將△AOB置于平面直角坐標系中，其中點O為坐標原點，點A的坐標為（3，0），∠ABO=60度．
（1）若△AOB的外接圓與y軸交于點D，求D點坐標．
（2）若點C的坐標為（-1，0），試猜想過D，C的直線與△AOB的外接圓的位置關系，并加以說明．
（3）二次函數的圖象經過點O和A且頂點在圓上，求此函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）∠ABO=60°則∠ADO=60°，在直角△AOD中，根據三角函數就可以求出OD的長，則可以求出D的坐標．
（2）若點C的坐標為（-1，0），在直角△CDO中，根據三角函數就可以求出∠CDO的度數．進而得到∠CDA的度數．從而判斷過D，C的直線與△AOB的外接圓的位置關系．
（3）函數經過O，A兩點，因而對稱軸是OA的垂直平分線與圓的交點，過交點作OA的垂線，利用三角函數，就可以求出OA的垂直平分線與圓的交點的坐標，再根據待定系數法就可以求出函數的解析式．

解答：解：（1）連接AD，則∠ADO=∠B=60°，
在Rt△ADO中，∠ADO=60°，
所以OD=OA÷

3

=3÷

3

=

3

，
所以D點的坐標是（0，

3

）；

（2）猜想：CD與圓相切，
∵∠AOD是直角，
∴AD是圓的直徑，
又∵tan∠CDO=

CO

DO

=

1

3

=

3

3

，∠CDO=30°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=90°，即CD⊥AD，
∴CD切外接圓于點D；

（3）依題意可設二次函數的解析式為：
y=α（x-0）（x-3），
由此得頂點坐標的橫坐標為：x=

3a

2a

=

3

2

；
即頂點在OA的垂直平分線上，作OA的垂直平分線EF，
則得∠EFA=

1

2

∠B=30°，
即得到EF=

3

EA=

3

2

3

可得一個頂點坐標為（

3

2

，

3

2

3

），
同理可得另一個頂點坐標為（

3

2

，-

1

2

3

），
分別將兩頂點代入y=α（x-0）（x-3）
可解得α的值分別為-

2 3

3

，

2 3

9

，
則得到二次函數的解析式是y=-

2 3

3

x（x-3）或y=

2 3

9

x（x-3）．

點評：本題是二次函數與圓相結合的題目，主要考查了切線的判定方法，待定系數法求函數的解析式．