Question

等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發，先沿y軸到達G點，再沿GC到達C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程的時間最短，則點G的坐標為

 

．

Answer 1

分析：先求出等邊三角形BC邊上的高為3

3

，設OG的長度為y，則AG的長度為3

3

-y，根據時間等于路程除以速度，設電子蟲在y軸上的速度為2v，則在GC上的速度為v，列出時間表達式，再根據不等式當且僅當

3 3 -y

2v

=

y2+32

2v

時取最小值，求出y值，點G坐標可得．

解答：解：根據題意，AO=6sin60°=3

3

，
如圖，設OG長度為y，則AG=3

3

-y，
在Rt△OCG中，CG=

y2+32

，
設電子蟲在y軸上的速度為2v，則在GC上的速度為v，
所以電子蟲走完全程的時間為t=

3 3 -y

2v

+

y2+32

v

，
∵電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，
∴當且僅當

3 3 -y

2v

=

y2+32

2v

時，t有最小值，
即3

3

-y=2

y2+32

，
整理得，y²-2

3

y+3=0，
解得y=

3

．
所以點G的坐標為（0，-

3

）．
故答案為：（0，-

3

）．

點評：本題考查了等邊三角形高的求法以及勾股定理的運用，利用不等式求最值是解題的關鍵．