Question

【題目】如圖，二次函數的圖象過原點，與x軸的另一個交點為

（1）求該二次函數的解析式；

（2）在x軸上方作x軸的平行線，交二次函數圖象于A、B兩點，過A、B兩點分別作x軸的垂線，垂足分別為點D、點C．當矩形ABCD為正方形時，求m的值；

（3）在（2）的條件下，動點P從點A出發沿射線AB以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點Q以相同的速度從點A出發沿線段AD勻速運動，到達點D時立即原速返回，當動點Q返回到點A時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為t秒（）．過點P向x軸作垂線，交拋物線于點E，交直線AC于點F，問：以A、E、F、Q四點為頂點構成的四邊形能否是平行四邊形．若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當矩形ABCD為正方形時，m的值為4；（3）以A、E、F、Q四點為頂點構成的四邊形能為平行四邊形，t的值為4或6.

【解析】

（1）根據點的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征求出點A，B的坐標，進而可得出點C，D的坐標，再利用正方形的性質可得出關于m的方程，解之即可得出結論；

（3）由（2）可得出點A，B，C，D的坐標，根據點A，C的坐標，利用待定系數法可求出直線AC的解析式，利用二次函數圖象上點的坐標特征及一次函數圖象上點的坐標特征可求出點E，F的坐標，由且以A、E、F、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形可得出，分，，三種情況找出AQ，EF的長，由可得出關于t的一元二次方程，解之取其合適的值即可得出結論．

（1）將，代入，得：，

解得，

∴該二次函數的解析式為．

（2）當 時，，

解得：，，

∴點a的坐標為（，m），點b的坐標為（，m），

∴點d的坐標為（，0），點c的坐標為（，0）．

∵矩形abcd為正方形，

∴，

解得：，（舍去），．

∴當矩形ABCD為正方形時，m的值為4．

（3）以A、E、F、Q四點為頂點構成的四邊形能為平行四邊形．

由（2）可知：點A的坐標為，點B的坐標為，點C的坐標為，點D的坐標為．

設直線AC的解析式為，

將，代入，

得，

解得，

∴直線ac的解析式為．

當時， ，

∴點E的坐標為（，），點F的坐標為（，-t+4）．

∵以A、E、F、Q四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形，且 ，

∴，分三種情況考慮：

①當時，如圖1所示，，EF=，

∴，解得：（舍去），；

②當時，如圖2所示，，EF=，

∴，

解得：（舍去），；

,, EF=，

，

解得（舍去），（舍去）

綜上所述，當以A、E、F、Q四點為頂點構成的四邊形為平行四邊形時，t的值為4或6