Question

已知直線m的解析式為，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，在坐標平面內有一點P（a，2），且△ABP的面積與△ABC的面積相等．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求△ABC的面積；
（3）求a的值．

Answer 1

解：（1）∵令y=0，則x=4，
x=0，則y=4，
∴A（4，0），B（0，4）；

（2）∵A（4，0），B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∴AB===8，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC=8，
∴S_△ABC=AB•AC=×8×8=32；


（3）∵點P（a，2），
∴點P在第一象限或第二象限，
當點P在第一象限時，如圖1所示，
過點P作PD⊥x軸，此時OD=OA+AD=a，PD=2，
∵△ABP的面積與△ABC的面積相等，
∴S_△ABP=S_梯形ODPB-S_△AOB-S_△APD=（2+4）×a-×4×4-×2×（a-4）=32，
解得a=16+2；
當點P在第二象限時，如圖2所示：
連接OP，過點P作PE⊥x軸，
此時AE=4-a，
∵△ABP的面積與△ABC的面積相等，
∴S_△ABP=S_△POB+S_△AOB-S_△AOP=OB•OE+OB•OA-OA•PE=×4×（-a）+×4×4-×4×2=32，
解得a=-16+2．
綜上所述a的值為a₁=16+2，a₂=-16+2．
分析：（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B兩點的坐標；
（2）先根據AB兩點的坐標求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的長度，根據三角形的面積公式即可得出△ABC的面積；
（3）當點P在第一象限時，過點P作PD⊥x軸，此時OD=OA+AD=a，PD=2，由于△ABP的面積與△ABC的面積相等，故S_△ABP=S_梯形ODPB-S_△AOB-S_△APD=32，故可求出a的值；
當點P在第二象限時，連接OP，過點P作PE⊥x軸，由△ABP的面積與△ABC的面積相等，可知S_△ABP=S_△POB+S_△AOB-S_△AOP=32，故可得出a的值．
點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到勾股定理、梯形的面積公式及三角形的面積公式，在解答（3）時要注意分類討論，不要漏解．