Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線AC的解析式為y=-

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x+2，直線AC交x軸于點C，交y軸于點A．
（1）若一個等腰直角三角形OBD的頂點D與點C重合，直角頂點B在第一象限內，請直接寫出點B的坐標；
（2）過點B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點P，使得△AOP的周長最��？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據直線AC的解析式為y=-

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x+2求出A、C兩點的坐標，故可得出OD的長，再過點B作BE⊥x軸于點E，再由銳角三角函數的定義即可求出BE的長，進而得出B點坐標；
（2）作點A關于直線l的對稱點A′，連接OA′交直線l于點P，則點P即為所求點．

解答：解：（1）∵直線y=-

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x+2交x軸于點C，交y軸于點A．
∴A（0，2），C（4，0），
如圖1，過點B作BE⊥x軸于點E，
∵△OBD是等腰直角三角形，
∴OE=

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OD=

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×4=2，
∴BE=OE•tan45°=2×1=2，
∴B（2，2）；

（2）如圖2所示，
∵B（2，2），
∴直線l的解析式為：x=2，
作點A關于直線l的對稱點A′，連接OA′交直線l于點P，則點P即為所求點，
∵A（0，2），
∴A′（4，2），
設直線OA′的解析式為y=kx（k≠0），則2=4k，
解得k=

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，
∴直線OA′的解析式為y=

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x，
∴當x=2時，y=1，
∴P（2，1）．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到一次函數的性質、等腰直角三角形的性質等相關知識，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．