Question

（2012•井研縣模擬）如圖，以BC為直徑的⊙O交△CFB的邊CF于點A，BM平分∠ABC交AC于點M，AD⊥BC于點D，AD交BM于點N，ME⊥BC于點E，AB²=AF•AC，cos∠ABD=

3

5

，AD=12．
（1）求證：△ANM≌△ENM；
（2）試探究：直線FB與⊙O相切嗎？請說明理由．
（3）探究四邊形AMEN的形狀，并求該四邊形的面積S．

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出∠BAC=90°，由 ME⊥BC于點E可以得出∠BEM=90°，而 BM平分∠ABC交AC于點M，可以得出AM=ME，∠AMN=∠EMN，最后利用SAS可以得出結論．
（2）直線FB與⊙O相切．由AB²=AF•AC可以得出△BAF∽△CAB，從而得出∠FBA=∠C，可以得出∠FBC=90°，進而得出結論．
（3）四邊形AMEN是菱形，由（1）△ANM≌△ENM可以得出AN=EN  AM=EM，∠ANM=∠ENM，由AD⊥BC，ME⊥BC可以得出AD∥ME，進而得到∠ANM=∠NME，有∠ENM=∠NME，得出EN=EM，得出AN=NE=EM=MA，得出結論．有條件cos∠ABD=

3

5

，AD=12．可以求出AB=15 BD=9   BC=25，由勾股定理可以求出AC=20．由FB是⊙O的切線，得出FB∥ME，從而得出∠FBM=∠BME=∠FMB有FB=FM．通過AB²=AF•AC可以求出AF的值．由∠F=∠ABC，由cos∠F=

3

5

，可以求出BF的值，從而求出AM的值，過M作MG⊥AD于G，則

MG

DC

=

AM

AC

=

5

20

=

1

4

，就可以求出DC和MG的值，從而求出其面積．

解答：（1）證明：∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°．
∵ME⊥BC，
∴∠BEM=90°．
∴∠BAC=∠BEM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠EBM．
∴∠AMB=∠EMB，AM=EM．
∵BM是公共邊，
∴△ANM≌△ENM（SAS）．
（2）解：直線FB與⊙O相切．
∵AB²=AF•AC，
∴

AB

AF

=

AC

AB

，
∵∠BAF=∠BAC=90°，
∴△BAF∽△CAB，
∴∠FBA=∠C，
∴∠FBA+∠ABC=∠C+∠ABC=90°，
即FB⊥BC．
∵B是⊙O上一點，
∴直線FB與⊙O相切．
（3）解：四邊形AMEN是菱形．
∵△ANM≌△ENM，
∴AN=EN  AM=EM，∠ANM=∠ENM
∵AD⊥BC，ME⊥BC，
∴AD∥ME，
∴∠ANM=∠NME
∴∠ENM=∠NME，
∴EN=EM，
∴AN=NE=EM=MA，
∴四邊形AMEN是菱形．
∵cos∠ABD=

3

5

，AD=12，
∴AB=15 BD=9   BC=25，
∴AC=

252-152

=20
∵FB是⊙O的切線，
∴FB∥ME，
∴∠FBM=∠BME=∠FMB，
∴FB=FM．
∵AB²=AF•AC，
∴AF=

152

20

=

45

4

，
∵∠F+∠C=∠ABC+∠C=90°，
∴cos∠F=cos∠ABD=

3

5

，
解得FB=

75

4

，
∴AM=

75

4

-

45

4

=7.5．

過M作MG⊥AD于G，則

MG

DC

=

AM

AC

=

7.5

20

=

3

8

．
∵DC=25-9=16，
∴MG=6．
∴S=6×7.5=45．

點評：本題是一道圓的綜合題，考查了三角形全等的運用，圓的切線的判定，菱形的判定及性質的運用，勾股定理的運用以及菱形面積的計算．