Question

如圖，已知△ABC中，∠A=90°，AC=10，AB=5，點A、C分別在x軸和y軸上，且C（0，8），拋物線y=x²+bx+c過B、C兩點．
（1）求拋物線解析式．
（2）如果將△ABC沿CA翻折，設點B的落點為點M，現平移拋物線，使它的頂點為M，求出平移后的拋物線解析式，并寫出平移的方法．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點B（x，y）．根據二次函數圖象上點的坐標特征，C點代入函數解析式求得c值及y=x²+bx+8③；然后根據勾股定理、兩點間的距離公式求得（x-6）²+y²=25①，
125=x²+（y-8）²②，聯立①②③解出b值．
（2）根據折疊的性質知，點M與點B關于點A對稱，所以M（2，-3）．然后根據頂點式二次函數的解法求平移后的拋物線的方程；最后由平移的方法回答問題．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過C點，且C（0，8），
∴8=c，
∴OC=8；
在Rt△AOC中，AC=10，OC=8，
∴根據勾股定理，得OA=6．
如圖1，過點B作BD⊥x軸于點D．
∵∠COA=∠ADB=90°，∠ACO=∠BAD（同角的余角相等），
∴△COA∽△ADB，
∴=，即=，則DA=4．
∴BD=3（勾股定理），
∴B（10，3）．
∵拋物線y=x²+bx+c過B、C兩點．
∴，
解得，
∴該拋物線的解析式是：y=x²-3x+8，
即y=（x-6）²-1；

（2）由（1）得B（10，3）．
根據題意知，點M與點B關于點A對稱，所以M（2，-3）．
∴平移后的拋物線解析式是：
y=（x-2）²-3；
方法：向左平移4個單位，再向下平移2個單位．
點評：本題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．