Question

12月22日是我國農歷節氣中的冬至日，這天太陽光與地面夾角的度數最小，因此建筑物的影子就最長．某地這天的某一時刻太陽光與水平面的夾角α的度數是37°，該地一小區內甲乙兩幢樓之間的間距BD=40米，甲樓的樓頂A在乙樓上的投影E的高度ED為5米．
（1）求甲樓的高度；
（2）若要使得這一時刻甲樓的樓頂A的投影恰好在乙樓的樓底處，那么在設計時這兩幢樓的間距一定要達到多少米？
（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，cot37°≈1.33）

Answer 1

【答案】分析：（1）過點E作EH⊥AB，垂足為點H，可以得到AB⊥BD，CD⊥BD，根據∠AEH=α=37°，得到BD=EH=40米，ED=BH=5米．最后在Rt△AHF中求得AB=AH+BH=35米；
（2）延長AE，交直線BD于點F，在Rt△ABF中利用∠AFB=α=37°的余切值求得BF的長即可．
解答：解：（1）過點E作EH⊥AB，垂足為點H，
由題意，得AB⊥BD，CD⊥BD，
∠AEH=α=37°，BD=EH=40米，ED=BH=5米．（1分）
在Rt△AHE中，∠AHE=90°，
tan∠AEH=，AH=EHtan∠AEH=30米，（3分）
AB=AH+BH=35米．（1分）
答：甲樓的高度是35米．（1分）

（2）延長AE，交直線BD于點F．（1分）
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠AFB=α=37°，（1分）
cot∠AFB=，BF=ABcot∠AFB=46.55米．（3分）
答：在設計時這兩幢樓的間距一定要達到46.55米．（1分）
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出直角三角形模型并解之．