Question

在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y=ax²+4ax+c（a≠0）經過A（0，4），B（-3，1），頂點為G．
（1）求該拋物線的表達方式及點C的坐標；
（2）將（1）中求得的拋物線沿y軸向上平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線與y軸的交點記為點D．當△ACD時等腰三角形時，求點D的坐標；
（3）若點P在（1）中求得的拋物線的對稱軸上，聯結PO，將線段PO繞點P逆時針轉90°得到線段PO′，若點O′恰好落在（1）中求得的拋物線上，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A與B坐標代入拋物線解析式中求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式，配方后即可求出頂點C的坐標；
（2）由平移規律即C的坐標表示出D的坐標，在直角三角形AOC中，由OA與OC的長，利用勾股定理求出AC的長，由圖形得到∠DAC為鈍角，三角形ACD為等腰三角形，只有DA=AC，求出DA的長，即為m的值，即可確定出D的坐標；
（3）由P在拋物線的對稱軸上，設出P坐標為（-2，n），如圖所示，過O′作O′M⊥x軸，交x軸于點M，過P作PN⊥O′M，垂足為N，由旋轉的性質得到一對邊相等，再由同角的余角相等得到一對角相等，根據一對直角相等，利用AAS得到△PCO≌△PNO′，由全等三角形的對應邊相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN為矩形得到MN=PC=|n|，分n大于0與小于0兩種情況表示出O′坐標，將O′坐標代入拋物線解析式中求出相應n的值，即可確定出P的坐標．
解答：解：（1）將A，B坐標分別代入拋物線解析式得：，
解得：，
∴拋物線解析式為y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴頂點C坐標為（-2，0）；
（2）由題意得：D（0，m+4），
在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，
根據勾股定理得：AC==2，
由圖形得到∠DAC為鈍角，要使△ACD為等腰三角形，只有DA=DC=2，
∴DA=m=2，
則D坐標為（0，2+4）；
（3）設P（-2，n），如圖所示，過O′作O′M⊥x軸，交x軸于點M，過P作PN⊥O′M，垂足為N，
易得PO=PO′，∠PCO=∠PNO′=90°，∠CPO=∠NPO′，
∴△PCO≌△PNO′（AAS），
∴O′N=OC=2，PN=PC=|n|，
∵四邊形PCMN為矩形，
∴MN=PC=|n|，
①當n＞0時，O′（n-2，n+2），代入拋物線解析式得：n²-n-2=0，
解得：n=2或n=-1（舍去）；
②當n＜0時，O′（n-2，n+2），代入拋物線解析式得：n²-n-2=0，
解得：n=2（舍去）或n=-1，
綜上①②得到n=2或-1，
則P的坐標為（-2，2），（-2，-1）．
點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，二次函數的性質，平移及旋轉的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，以及坐標與圖形性質，利用了數形結合及方程的思想，是一道中檔題．