Question

如圖，已知AC⊥CM，點B是射線CM上一點（點B不與點C重合），AC=4，∠CAB的平分線AD與射線CM交于點D，過點D作DN⊥AB，垂足為N．
（1）如果AB=5，求BD的長；
（2）設AB=x，BD=y，求出y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當AB取何值時，四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍？

Answer 1

解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，
∴．
∵AD是∠CAB的平分線，且DC⊥AC，DN⊥AB，
∴DN=DC．
在Rt△DNB和Rt△ACB中，∠DBN=∠ABC，
∴△DNB∽△ACB．
∴，
∴，
∴．

（2）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，AB=x，
∴．
∵△DNB∽△ACB，
∴，
∴．
∴．
（x＞4）．

（3）∵S_{四邊形ACDN}=3S_△BDN，
∴S_△ABC=4S_△BDN．
又∵△ACB∽△DNB，
∴，
∴AB=2BD．
設AB=x，則，
解方程得：．
經檢驗都是原方程的根，但x₂=-4不合題意，舍去．
∴，即時，四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍．
分析：（1）根據勾股定理可求BC；根據角平分線性質得CD=DN；根據△BDN∽△BAC得比例式求解；
（2）思路同上．
（3）四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍，則S_△BDN=S_△ABC，即兩個三角形的相似比為1：2，亦即當AB=2BD時，四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍．
點評：此題考查相似三角形的判定與性質、角平分線的性質、解方程等知識點，綜合性強，難度大．