Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB≠BC，連接AC，AE是∠BAD的平分線，交邊DC的延長線于點F．

(1)證明：CE=CF；

(2)如圖（2），連接BF，若∠ABC=60°，BC=2AB，試判斷四邊形ABFC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）矩形，理由見解析

【解析】

（1）利用角平分線的性質結合平行四邊形的性質得出∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF，進而得出答案；

（2）利用等邊三角形的判定方法得出△ABE是等邊三角形，進而得出△ABE≌△FCE（ASA），即可得出AB＝FC，進而結合矩形的判定方法求出即可．

（1）∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠BAF＝∠DAF，

∵在平行四邊形ABCD中，

∴AB∥DF，AD∥BC，

∴∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF，

∴∠F＝∠DAF＝∠CEF，

∴CE＝FC；

（2）解：四邊形ABFC是矩形，

理由：如圖（2），∵∠ABC=60°，AD∥BC，

∴∠BAD＝120°，

∵∠BAF＝∠DAF，

∴∠BAF＝60°，

則△ABE是等邊三角形，

可得AB＝BE＝AE，∠BEA＝∠AFC＝60°，

∵BC＝2AB，

∴AE＝BE＝EC，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

在△ABE和△FCE中

∵，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB＝FC，

又∵AB∥FC，

∴四邊形ABFC是平行四邊形，

再由∠BAC＝90°，

故四邊形ABFC是矩形．