Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=8，cosA=

4

5

．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析：（1）由DE⊥AB，AE=8，cosA=

4

5

，可求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求出DE的長(zhǎng)，由角平分線的性質(zhì)可得DC=DE=6；
（2）由AD=10，DC=6，得AC=AD+DC=16，由tgA=

BC

AC

=

DE

AE

求出BC，從而求出tan∠DBC的值．

解答：解：（1）在Rt△ADE中，cosA=

AE

AD

=

4

5

．（2分）
∴AD=

5

4

AE=

5

4

×8=10．（1分）
∴DE=

AD2-AE2

=

102-82

=6．（1分）
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD=DE=6．（1分）

（2）在Rt△ACB與Rt△ADE中，AC=AD+DC=16，
∵tgA=

BC

AC

=

DE

AE

，（2分）
∴BC=

AC•DE

AE

=

16×6

8

=12．（2分）
∴tan∠DBC=

CD

BC

=

6

12

=

1

2

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：考查綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)、三角函數(shù)值的定義，進(jìn)行邏輯推理能力和運(yùn)算能力．