Question

點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，BD是⊙O的切線,且AB＝AD．

（1）求證：點A是DO的中點．
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA＝，求△ACF的面積．

Answer 1

（1）見解析（2）18解析:
（1）連接OB，∵ BD是⊙O的切線，
∴∠OBD=90°，
∵AB=AD， 
∴∠D=∠ABD，
∴∠AOB=∠ABO，
∴AB=AO，
∵AB=AD.
∴AO=AD…………………5分

（2）∵AC是直徑，∴∠ABF=90°，
∴cos∠BFA＝，…………………7分
∵∠E=∠C， ∠FAC=∠FBE，
∴△FAC∽△FBE，…………………9分
∴
∵
∴△FAC的面積為18. …………………11分
（1）連接OB，求得∠AOB=∠ABO，從而求得AO=AD
（2）同弧所對的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解