Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的頂點坐標為M（0，﹣1），與x軸交于A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△MAB的形狀，并說明理由；
（3）過原點的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C、D兩點，連接MC，MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由．
 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：y=x²﹣1；
（2）△MAB是等腰直角三角形，理由見解析；
（3）MC⊥MF，理由見解析．

解析試題分析：（1）待定系數法即可解得．
（2）由拋物線的解析式可知OA=OB=OC=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形．
（3）分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，設D（m，m²﹣1），C（n，n²﹣1），通過FG∥DH，得出，從而求得m、n的關系，根據m、n的關系，得出△CGM∽△MHD，即可求得結論．
試題解析：（1）∵拋物線y=x²+bx+c的頂點坐標為M（0，﹣1），
∴b=0，c=﹣1，
∴拋物線的解析式為：y=x²﹣1；
（2）△MAB是等腰直角三角形，
由拋物線的解析式為：y=x²﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），
∴OA=OB=OC=1，
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°，
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°
∵y軸是對稱軸，
∴A、B為對稱點，
∴AM=BM，
∴△MAB是等腰直角三角形；
（3）MC⊥MF；分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，

設D（m，m²﹣1），C（n，n²﹣1），
∴OE=﹣n，CE=1﹣n²，OF=m，DF=m²﹣1，
∵OM=1，
∴CG=n²，DH=m²，
∵FG∥DH，
∴，
即
解得m=﹣，
又∵=﹣n，，
∴，
∵∠CGM=∠MHD=90°，
∴△CGM∽△MHD，
∴∠CMG=∠MDH，
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°，
∴∠CMD=90°，
即MC⊥MF．
考點：二次函數綜合題．