Question

如圖，在△ABD和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，連接BC、DE相交于點(diǎn)F，BC與AD相交于點(diǎn)G
（1）試判斷線段BC、DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么線段FD是線段FG和FB的比例中項嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）利用SAS證明△ABC≌△ADE，得BC=DE．
（2）根據(jù)（1）里的全等關(guān)系，可證出△BFD∽△DFG，所以

BF

DF

=

DF

GF

，即FD²=FG•FB．

解答：解：（1）BC、DE的數(shù)量關(guān)系是BC=DE．
理由如下：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又∵AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE．（SAS）
∴BC=DE．

（2）線段FD是線段FG和FB的比例中項．
理由如下：∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC=∠ADE．
∵∠ABC=∠CBD，∴∠ADE=∠CBD，
又∵∠BFD=∠DFG，
∴△BFD∽△DFG．
∴

BF

DF

=

DF

GF

∴FD²=FG•FB．
即線段FD是線段FG和FB的比例中項．

點(diǎn)評：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)．