Question

如圖，在Rt△ABC，∠ABC=90°，CO平分∠ACB交于AB于O，D為AC上一點，且CD=CB，E為AO上一點，OE=OB，連接DE
①試判斷直線DE與OC的位置關系，并證明你的結論
②若AD=4，CD=6，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）DE∥OC．通過△CDO≌△CBO推知OD=OB，∠DOC=∠BCO；然后利用角平分線的性質以及等量代換證得內錯角∠EDO=∠DOC；
（2）在直角△ABC中根據勾股定理求得AB=8；然后在直角△ADO中利用勾股定理來求AO的長度．

解答：解：（1）直線DE與OC相互平行．理由如下：
如圖連接OD．
∵CO平分∠ACB，
∴∠1=∠2．
∵在△CDO與△CBO中，

CD=CB ∠1=∠2 CO=CO

，
∴△CDO≌△CBO（SAS），
∴OD=OB，∠4=∠6．
又∵OE=OB，
∴∠3=∠5．
∵∠4+∠6=180°-∠DOE=∠3+∠5，
∴2∠4=2∠3，即∠4=∠3，
∴DE∥OC，即直線DE與OC相互平行；

（2）∵AD=4，CD=6，
∴AC=10．
∵在Rt△ABC，∠ABC=90°，
∴根據勾股定理求得AB=

AC2-BC2

=8．
設AE=x．則OD=OE=

1

2

（AB-AE）=

8-x

2

．
在直角△ADO中，AD²+OD²=OA²，即4²+（

8-x

2

）²=（x+

8-x

2

）²，
解得x=2，即AE=2．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理．解答（2）題時，借助于方程求得線段AE的長度．