Question

對于x＞0，規定f（x）=

x

x+1

，例如f（2）=

2

2+1

=

2

3

，f（

1

2

）=

1 2

1 2 +1

=

1

3

，那么f（

1

2011

）+f（

1

2010

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=

2010.5

．

Answer 1

分析：根據f（2）=

2

2+1

=

2

3

可知f（x）=

x

x+1

，根據f（

1

2

）=

1 2

1 2 +1

=

1

3

可知f（

1

x

）=

1

x+1

，以此類推可分別求f（

1

2011

）、f（

1

2010

）、…、f（

1

3

）、f（

1

2

）、f（1）、f（2）、…f（2011）的值，再把結果相加，又發現除

1

2

外，其它的數能兩兩組成1，據此可知有

2012-3+1

2

個1，進而可求出答案．

解答：解：原式=

1

2012

+

1

2011

+…+

1

3

+

1

2

+

2

3

+…+

2011

2012

=1×2010+

1

2

=2010.5．
故答案是2010.5．

點評：本題考查了分式的混合運算，解題的關鍵是尋找規律，比如：根據f（x）=

x

x+1

來計算正整數時的值；根據知f（

1

x

）=

1

x+1

來計算分數時的值，再根據結果可發現以

1

2

為對稱中心的兩個數相加等于1．