Question

對于正整數n，規定n!=1×2×…×n．則乘積1!×2!×…×9!的所有約數中，是完全平方數的共有

672

個．

Answer 1

分析：先把1!×2!×…×9!的積分解質因數，再求出最大完全平方約數的平方根的個數，再根據積的約數的個數即是原數完全平方因數的個數即可得出結論．

解答：解：把積分解質因數，得30個2，13個3，5個5，3個7；
最大完全平方約數的平方根為15個2，6個3，2個5，1個7；
它的約數的個數即是原數完全平方因數的個數，即（15+1）×（6+1）×（2+1）×（1+1）=672個．
故答案為：672．

點評：本題考查的是完全平方數，解答此題的關鍵是根據題意把1!×2!×…×9!的積分解質因數，再根據它的約數的個數即是原數完全平方因數的個數即可得出結論．