Question

【題目】小明在一次數學興趣小組活動中，進行了如下探索活動．

問題原型：如圖（1），在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、Q分別是AB、AD邊的中點，以AP、AQ為鄰邊作矩形APEQ，連接CE，則CE的長為　 　（直接填空）

問題變式：（1）如圖（2），小明讓矩形APEQ繞著點A逆時針旋轉至點E恰好落在AD上，連接CE、DQ，請幫助小明求出CE和DQ的長，并求DQ：CE的值．

（2）如圖（3），當矩形APEQ繞著點A逆時針旋轉至如圖（3）位置時，請幫助小明判斷DQ：CE的值是否發生變化？若不變，說明理由．若改變，求出新的比值．

問題拓展：若將“問題原型”中的矩形ABCD改變為平行四邊形ABCD，且AB＝3，AD＝7，∠B＝45°，P、Q分別是AB、AD邊上的點，且AP＝AB，AQ＝AD，以AP、AQ為鄰邊作平行四邊形APEQ．當平行四邊形APEQ繞著點A逆時針旋轉至如圖（4）位置時，連接CE、DQ．請幫助小明求出DQ：CE的值．

Answer 1

【答案】問題原型：（1）CE＝5；問題變式：（1）CE＝3，DQ＝，DQ：CE＝4：5；（2）不變，見解析；問題拓展：＝

【解析】

問題原型：如圖1中，延長PE交CD于H，則四邊形QEHD是矩形．在Rt△CEH中，利用勾股定理即可解決問題；

問題變式：（1）如圖2中，作FQ⊥AD于F．利用勾股定理相似三角形的性質，分別求出CE、DQ即可解決問題；

（2）不變．理由如下：連接AE、AC．只要證明△ACE∽△ADQ，列比例式即可解決問題；

問題拓展：在圖4中，計算AC的長，同理得△ACE∽△ADQ，通過計算即可解決問題．

問題原型：

如圖1中，延長PE交CD于H，則四邊形QEHD是矩形，

在Rt△CEH中，EH＝DQ＝4，CH＝PB＝AP＝3，

∴CE＝＝5，

故答案為：5；

問題變式：

（1）如圖2中，過Q作QF⊥AD于F，

在矩形APEQ中，∵AP＝3，EP＝4，

∴AE＝5，ED＝8﹣5＝3，

在Rt△CED中，CE＝＝3，

∵∠QAF＝∠QAE，∠AFQ＝∠AQE＝90°，

∴△AQF∽△AEQ，

∴，

∴，

∴FQ＝，

∴AF＝，

∴DF＝8﹣=，

由勾股定理得：DQ＝，

∴DQ：CE＝：3＝4：5；

（2）不變，理由如下：連接AE、AC，

由旋轉可知：∠QAD＝∠EAC，

由勾股定理可知：AC＝10，AE＝5，

∴，，

∴ ，

∴△ACE∽△ADQ，

∴；

問題拓展：如圖4中，過A作AH⊥BC于H，連接AC，

∵∠B＝45°，

∴△ABH是等腰直角三角形，

∵AB＝3，

∴AH＝BH＝3

∴CH＝7﹣3＝4，

由勾股定理得：AC＝＝5，

∴，

如圖5，連接AE、AC，

同理APEQ中，AP＝，PE＝，得AE＝，

∴，

由旋轉得：∠QAD＝∠EAC，

∴△ACE∽△ADQ，可得：．