Question

已知函數(shù)y₁=x，y₂=x²+mx+n，x₁、x₂是方程y₁=y₂的兩個實根，點P（s，t）在函數(shù)y₂的圖象上．
（1）若x₁=2，x₂=4，求m，n的值；
（2）在（1）的條件下，當0≤s≤6時，求t的取值范圍；
（3）當0＜x₁＜x₂＜1，0＜s＜1時，試確定t，x₁，x₂三者之間的大小關系．

Answer 1

分析：（1）通過把x₁=2，x₂=4分別代入y₁=y₂，確定m，n的值即可；
（2）首先根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸得出s=

5

2

，再利用當0≤s≤

5

2

時，當

5

2

＜s≤6時，分別求出t的取值范圍即可；
（3）利用t-x₁=s²+ms-x₁²-mx₁=（s-x₁）（s+x₁+m），t-x₂=s²+ms-x₂²-mx₂=（s-x₂）（s+x₂+m），結合當0＜s≤x₁時，當x₁＜s≤x₂時，當x₂＜s＜1時分別求出t，x₁，x₂三者之間的大小關系即可．

解答：解：（1）∵y₁=x，y₂=x²+mx+n，y₁=y₂，
∴x²+（m-1）x+n=0．將x₁=2，x₂=4分別代入x²+（m-1）x+n=0，
得

4+(m-1)×2+n=0 16+(m-1)×4+n=0

，
解得：

m=-5 n=8

．

（2）由（1）知，y₂=x²-5x+8=（x-

5

2

）²+

7

4

，
∵點P（s，t）在函數(shù)y₂的圖象上，
∴t=（s-

5

2

）²+

7

4

，
當0≤s≤

5

2

時，
當s=0，t=8，當s=

5

2

，t=

7

4

，
則

7

4

≤t≤8，
當

5

2

＜s≤6時，
當s=

5

2

，t=

7

4

，當s=6，t=14，
則

7

4

＜t≤14，

（3）由已知，得x₁=x₁²+mx₁+n，x₂=x₂²+mx₂+n，t=s²+ms+n．
t-x₁=s²+ms-x₁²-mx₁=（s-x₁）（s+x₁+m），
t-x₂=s²+ms-x₂²-mx₂=（s-x₂）（s+x₂+m），
x₁-x₂=（x₁²+mx₁+n）-（x₂²+mx₂+n）
∴x₁-x₂=（x₁-x₂）（x₁+x₂+m），
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂+m-1）=0，
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂≠0，
∴x₁+x₂+m-1=0，
有x₁+m=1-x₂＞0，
又∵0＜s＜1，
∴s+x₁+m＞0，s+x₂+m＞0，
∴當0＜s≤x₁時，t≤x₁＜x₂，
當x₁＜s≤x₂時，x₁＜t≤x₂，
當x₂＜s＜1時，x₁＜x₂＜t．

點評：本題主要考查了一元二次方程與一次函數(shù)及二次函數(shù)的相關知識，一元二次方程與函數(shù)相結合的綜合問題是初中與高中知識銜接的重點內(nèi)容．對于這類問題，通常需要學生熟悉掌握方程與函數(shù)的概念與性質及兩者之間的聯(lián)系．