Question

（2013•荊州）如圖，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內作第1個內接正方形A₁B₁D₁E₁（D₁、E₁在AB上，A₁、B₁分別在AC、BC上），再在△A₁B₁C內接同樣的方法作第2個內接正方形A₂B₂D₂E₂，…如此下去，操作n次，則第n個小正方形A_nB_nD_nE_n 的邊長是

1

3(n-1)

．

Answer 1

分析：求出第一個、第二個、第三個內接正方形的邊長，總結規律可得出第n個小正方形A_nB_nD_nE_n 的邊長．

解答：解：∵∠A=∠B=45°，
∴AE₁=A₁E=A₁B₁=B₁D₁=D₁B，
∴第一個內接正方形的邊長=

1

3

AB=1；
同理可得：
第二個內接正方形的邊長=

1

3

A₁B₁=

1

9

AB=

1

3

；
第三個內接正方形的邊長=

1

3

A₂B₂=

1

27

AB=

1

9

；
故可推出第n個小正方形A_nB_nD_nE_n 的邊長=

1

3n

AB=

1

3(n-1)

．
故答案為：

1

3(n-1)

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，解答本題的關鍵是求出前幾個內接正方形的邊長，得出一般規律．