Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是（　　）
①AD是∠BAC的平分線     
②∠ADC=60°
③點D在AB的垂直平分線上   
④AB=2AC．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根據角平分線的做法可得①正確，再根據三角形內角和定理和外角與內角的關系可得∠ADC=60°，再根據線段垂直平分線的性質逆定理可得③正確．根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得④正確．

解答：解：①AD是∠BAC的平分線，說法正確；
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，
因此∠ADC=60°正確；
③∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點D在AB的中垂線上，故③說法正確，
④∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
故選：D．

點評：此題主要考查了角平分線的做法以及垂直平分線的性質，熟練根據角平分線的性質得出∠ADC度數是解題關鍵．