Question

（2005•蘭州）如圖，已知正三角形的邊長2a
（1）求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積；
（2）根據計算結果，要求圓環的面積，只需測量哪一條弦的大小就可算出圓環的面積？
（3）將條件中的“正三角形”改為“正方形”、“正六邊形”你能得出怎樣的結論；
（4）已知正n邊形的邊長為2a，請寫出它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積．

Answer 1

【答案】分析：正多邊形的邊心距，半徑，邊長的一半正好構成直角三角形，根據勾股定理就可以求解．
解答：解：（1）設正三角形ABC的中心為O，BC切⊙O于點D連接OB、OD，則OD⊥BC，BD=DC=a；
則S圓環=π•OB²-π•OD²=π?OB²-OD²?=BD²•π=πa²．
（2）只需測出弦BC的長（或AC，AB）．
（3）結果一樣，即S圓環=πa²．
（4）S圓環=πa²．
點評：正多邊形的計算，一般是過中心作邊的垂線，連接半徑，把內切圓半徑，外接圓半徑和高，中心角之間的計轉化為解直角三角形．本題是巧用了勾股定理．