Question

（2002•曲靖）已知：如圖，⊙O的直徑AB等于4，以OA為直徑作⊙O₁，BD切⊙O₁于C，交⊙O于D，連接AC、OC．
（1）求tan∠CAO的值；（2）求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求tan∠CAO的值，即求的值，易證得△BOC∽△BCA，則=；關鍵是求出BC的長，由切割線定理得BC²=BO•BA，由此可求得BC的長，即可得解．
（2）求BD的長，可過O作弦BD的垂線，設垂足為M；連接O₁C，則△BOM∽△BO₁C，可得BO：BO₁=BM：BC，由此可求得BM的長，進而可求出BD的長．
解答：解：（1）∵BC切⊙O₁于C，
∴BC²=BO•BA=2•4=8，即BC=2；
由弦切角定理，得∠BCO=∠BAC；
又∵∠CBO=∠ABC，
∴△BOC∽△BCA；
∴===；
Rt△AOC中，tan∠CAO==．

（2）連接O₁C，過O作OM⊥BD于M，則BD=2BM；
∵BD是⊙O₁的切線，
∴O₁C⊥BD；
∴OM∥O₁C；
∴=，
∴BM==；
∴BD=2BM=．
點評：綜合考查圓周角定理、切線的性質、切割線定理以及相似三角形的判定和性質．