Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，直徑AB左側的半圓上有一點動點E（不與點A、B重合），連結EB、ED。

（1）如果∠CBD＝∠E，求證：BC是⊙O的切線；

（2）當點E運動到什么位置時，△EDB≌△ABD，并給予證明；

（3）若tanE＝，BC＝，求陰影部分的面積。（計算結果精確到0.1)

(參考數值：π≈3.14, ≈1.41，≈1.73)

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠ABD＋∠BAD＝90°。

又∵∠CBD＝∠E，∠BAD＝∠E，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即∠ADC＝90°。

∴BC⊥AB。∴BC是⊙O的切線。

（2）當點E運動到DE經過點O位置時，△EDB≌△ABD。證明如下：

當點E運動到DE經過點O位置時，∠EBD＝∠ADB＝90°，

又∵∠ABD＝∠E，BD=DB，∴△EDB≌△ABD（AAS）。

（3）如圖，連接OD，過點O作OF⊥AD于點F，

∵∠BAD＝∠E，tanE＝，∴tan∠BAD＝。

又∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°。

∵∠ABC＝90°，BC＝，∴。

∴AO=2，OF=1，AF=AOcos∠BAD＝。∴AD=。

∵AO=DO，∴∠AOD＝120°。

∴。

【解析】

試題分析：（1）證明∠ADC＝90°即可。

（2）由AAS可判定當點E運動到DE經過點O位置時，△EDB≌△ABD。

（3）應用銳角三角函數定義求出相關線段和角度，由求解。