Question

（2001•北京）已知關于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-1=0  ①
（1）試判斷方程①的根的情況；
（2）如果a是關于y的方程y²-（x₁+x₂-2k）y+（x₁-k）（x₂-k）=0②的根，其中x₁，x₂為方程①的兩個實數根，求代數式的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可以根據根的判別式來判斷根的情況；
（2）根據方程①的根與系數的關系代入方程②后簡化方程，然后可以得到關于a的方程，求出a的值，接著分析代數式，化簡后把a的值代入，從而得出代數式的值．
解答：解：（1）∵a=1，b=-2（k+1），c=k²+2k-1，
∴△=b²-4ac=[-2（k+1）]²-4（k²+2k-1）=8＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根；
（2）∵方程①中x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2k-1
代入方程②中，可得到：y²-2y-1=0，
因a是方程②的根，則a²-2a-1=0，
∴a²-1=2a，把a²-1=2a整體代入所求代數式，
∴==-
∴所求代數式的值為-．
點評：總結：（1）根據根的判別式的值的大小與零的關系來判斷．
若△＞0，則有兩不相等的實數根；
若△＜0，則無實數根；
若△=0，則有兩相等的實數根．
（2）一元二次方程若有實數根，則根與系數的關系為：x₁+x₂=，x₁•x₂=．