Question

如圖，在中，，，．是邊上一點，直線于，交于，交直線于．設．
（1）當取何值時，四邊形是菱形？請說明理由；
（2）當取何值時，四邊形的面積等于？

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由，可得EF∥AC，再由CF∥AB，即可證得四邊形ACFE是平行四邊形，要想使其為菱形，就必須讓CF=AC=2，然后用x表示出CF、DF，在直角三角形CDF中根據勾股定理列方程求解即可．
（2）由于四邊形ACDE是個直角梯形，可根據其面積公式列出關于x的一元二次方程，然后求出x的值．
（1），
，
又，
．                                   
又，
四邊形是平行四邊形．       
當時，四邊形是菱形．          
此時，，，
．
∴．        
在中，，
∴，
解得（負值不合題意，舍去）．
∴當時，四邊形是菱形；    
（2）由已知得，四邊形是直角梯形，
，
由題意得．             
解得，．
，
∴舍去．
∴當時，梯形的面積等于．
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的判定常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．