Question

如圖，AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，弦CD與AB、BF分別相交于點E、G，過點F的切線HF與DC的延長線相交于點H，且HF＝HG.
【小題1】求證：AB⊥CD；
【小題2】若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半徑長.

Answer 1

【小題1】證明：如圖，連接OF，

∵HF是⊙O的切線，
∴∠OFH = 90°.
即∠1 + ∠2 = 90º.
∵HF =HG，∴∠1 = ∠ HGF.
∵∠ HGF = ∠3，∴∠3 = ∠1.
∵OF =OB，∴∠B = ∠2.
∴∠ B + ∠3 = 90º.
∴∠BEG = 90º.
∴AB⊥CD.
【小題1】解：如圖，連接AF，
∵AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，
∴∠AFB = 90º.
即∠2 +∠4 = 90º.
∴∠HGF = ∠1=∠4=∠A.
在Rt△AFB中，AB =="4" .
∴⊙O的半徑長為2.

解析【小題1】利用FH=HG得出∠3 = ∠1，OF=OB得出∠B = ∠2，從HF是⊙O的切線
得出∠1 + ∠2 = 90º，從而得出∠ B + ∠3 = 90º，從而證出AB⊥CD；
【小題1】利用直角三角形勾股定理求出AB的長度，從而得出圓的半徑。