Question

如圖，AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，弦CD與AB、BF分別相交于點E、G，過點F的切線HF與DC的延長線相交于點H，且HF＝HG.

1.求證：AB⊥CD；

2.若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半徑長.

 

 

Answer 1

 

1.證明：如圖，連接OF，

∵HF是⊙O的切線，

∴∠OFH =90°.

即∠1 + ∠2 = 90º.

∵HF =HG，∴∠1 = ∠ HGF.

∵∠ HGF = ∠3，∴∠3 = ∠1.

∵OF =OB，∴∠B = ∠2.

∴∠ B + ∠3 = 90º.

∴∠BEG = 90º.

∴AB⊥CD.

2.解：如圖，連接AF，

∵AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，

∴∠AFB = 90º.

即∠2 +∠4 = 90º.

∴∠HGF = ∠1=∠4=∠A.

在Rt△AFB中，AB ==4.

        ∴⊙O的半徑長為2.

解析:

1.利用FH=HG得出∠3 = ∠1，OF=OB得出∠B = ∠2，從HF是⊙O的切線

得出∠1+ ∠2 = 90º，從而得出∠B + ∠3 = 90º，從而證出AB⊥CD；

2.利用直角三角形勾股定理求出AB的長度，從而得出圓的半徑。