Question

一樓梯共有n級臺階，規定每步可以邁1級臺階或2級臺階或3級臺階，設從地面到第n級臺階所有不同的走法為M種．
（1）當n=2時，M=

2

種；
（2）當n=7時，M=

44

種．

Answer 1

分析：（1）先用n表示臺階的級數，a n表示某人走到第n級臺階時，所有可能不同的走法，得出當n=1時，顯然只要1種跨法，當n=2時，即可求出M的值；
（2）由（1）可得出當n=3、4…時的不同走法，找出規律，求出當n=7時M的值即可．

解答：解：如果用n表示臺階的級數，a n表示某人走到第n級臺階時，所有可能不同的走法，容易得到：
（1）根據題意得：當n=1時，顯然只要1種跨法，即a₁=1．
當n=2時，可以一步一級跨，也可以一步跨二級上樓，
因此，共有2種不同的跨法，即M=2．
（2）由（1）可得：
當n=3時，可以一步一級跨，也可以一步三級跨，還可以第一步跨一級，
第二步跨二級或第一步跨二級，第二步跨一級上樓，
因此，共有4種不同的跨法，即a₃=4．
④當n=4時，分三種情況分別討論：
如果第一步跨一級臺階，那么還剩下三級臺階，由③可知有a₃=4（種）跨法．
如果第一步跨二級臺階，那么還剩下二級臺階，由②可知有a₂=2（種）跨法．
如果第一步跨三級臺階，那么還剩下一級臺階，由①可知有a₁=1（種）跨法．
根據加法原理，有a₄=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7
類推，有a₅=a₂+a₃+a₄=2+4+7=13；
a₆=a₃+a₄+a₅=4+7+13=24；
a₇=a₄+a₅+a₆=7+13+24=44，
即M=44；
故答案為：2，44．

點評：本題考查的是排列組合問題，根據排列組合原理分別求出當n=1、2、3、4…時的不同走法，找出規律是解答此題的關鍵．