Question

8、一個樓梯共有10級臺階．規定每步可以上一級或二級臺階，最多可以上三級臺階．從地面到最高一級，一共有

274

種不同的上法．

Answer 1

分析：分別求出當n=1、2、3、4…時的不同走法，找出規律，求出當n=10時a₁₀的值即可．

解答：解：如果用n表示臺階的級數，a n表示某人走到第n級臺階時，所有可能不同的走法，容易得到：
①當n=1時，顯然只要1種跨法，即a 1=1．
②當n=2時，可以一步一級跨，也可以一步跨二級上樓，因此，共有2種不同的跨法，即a₂=2．
③當n=3時，可以一步一級跨，也可以一步三級跨，還可以第一步跨一級，第二步跨二級或第一步跨二級，第二步跨一級上樓，因此，共有4種不同的跨法，即a₃=4．
④當n=4時，分三種情況分別討論：
如果第一步跨一級臺階，那么還剩下三級臺階，由③可知有a₃=4（種）跨法．
如果第一步跨二級臺階，那么還剩下二級臺階，由②可知有a₂=2（種）跨法．
如果第一步跨三級臺階，那么還剩下一級臺階，由①可知有a₁=1（種）跨法．
根據加法原理，有a₄=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7
類推，有a₅=a₂+a₃+a₄=2+4+7=13；
a₆=a₃+a₄+a₅=4+7+13=24；
a₇=a₄+a₅+a₆=7+13+24=44；
a₈=a₅+a₆+a₇=13+24+44=81；
a₉=a₆+a₇+a₈=24+44+81=149；
a₁₀=a₇+a₈+a₉=44+81+149=274．
故答案為：274．

點評：本題考查的是排列組合問題，根據排列組合原理分別求出當n=1、2、3、4…時的不同走法，找出規律是解答此題的關鍵．