Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=8，點E在邊AB上點，CE的垂直平分線FP 分別交AD、CE、CB于點F、H、G，交AB的延長線于點P．
（1）求證：△EBC∽△EHP；
（2）設BE=x，BP=y，求y與x之間的函數解析式，并寫出定義域；
（3）當時，求BP的長．

Answer 1

（1）證明：∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，PH⊥CE，
∴∠PHE=∠CBE=90°
又∵∠BEC=∠HEP，
∴△EBC∽△EHP；

（2）解：在Rt△BCE中，CE²=BE²+BC²=x²+64．
∵△EBC∽△EHP，
∴．
∴BE•EP=EH•EC．
∵EH=．
∴．
∴，
∴函數解析式為，
定義域為0＜x＜8．

（3）解：∵△EBC∽△EHP，
∴∠ECB=∠P，
∵∠EBC=∠GBP=90°．
∴△EBC∽△GBP．
∴．
∴GB•BC=BE•BP．
∴
∴x=±6（負值不符合題意，舍去），
∴BP=．
分析：（1）由于在正方形ABCD中，∠ABC=90°，PH⊥CE，由此得到∠PHE=∠CBE=90°，又∠BEC=∠HEP，由此即可證明△EBC∽△EHP；
（2）在Rt△BCE中，根據勾股定理得到CE²=BE²+BC²=x²+64，根據（1）得到，而EH=，進一步得到
，由此即可得到等式，變形后即可得到函數解析式，結合已知條件可以確定定義域；
（3）根據（1）知道∠ECB=∠P，而∠EBC=∠GBP=90°，由此可以證明△EBC∽△GBP，接著利用相似三角形的性質得到 GB•BC=BE•BP，接著得到，解方程即可求解．
點評：此題分別考查了相似三角形的性質與判定、正方形的性質及勾股定理，有一定的綜合性，解題時要求學生分析問題、解決問題的能力比較強才能很好解決這類問題．