Question

解下列方程，找出規律并加以證明：
（1）方程x²+2x+1=0的根為：x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

；
（2）方程x²-3x-1=0的根為：x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

；
（3）方程3x²+4x-7=0的根為：x₁=

 

，x₂=

 

，x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

．
由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能證明你的猜想嗎？

Answer 1

分析：（1）首先利用配方法解方程，求得方程的兩個解，即可求得兩根的和與積；
（2）（3）利用求根公式，即可求得方程的兩個根，進而求得兩個根的和與積．
觀察方程的兩根的和與積與方程的系數之間的關系，利用系數表示出兩個根的和與積即可得到結論．

解答：解：（1）x²+2x+1=0
即（x+1）²=0
∴x+1=0
∴x=-1
∴x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁x₂=1；

（2）x=

3± 32+4

2

=

3± 13

2

．
∴x₁=

3+ 13

2

，x₂=

3- 13

2

，x₁+x₂=3，x₁x₂=-1；

（3）x=

-4± 42+4×3×7

6

=

-4± 100

6

=

-4±10

6

∴x₁=1，x₂=-

7

3

，x₁+x₂=-

4

3

，x₁x₂=-

7

3

．
結論：若方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c是常數，x是未知數）有兩個根x₁、x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．

點評：本題考查了一元二次方程的解法，以及一元二次方程的根與系數之間的關系，關鍵是正確求得方程的解．