Question

如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：
（1）在圖1中，寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間關系為；
（2）如圖2，在（1）的結論下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于點M、N．
①仔細觀察，在圖2中有

6

個以線段AD為邊的“8字形”；
②若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數；
③∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試直接寫出∠P與∠D、∠B之間數量關系，不需說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和定理得到∠A+∠D+∠AOD=180°，∠C+∠D+∠BOC=180°，根據對頂角相等得∠AOD=∠BOC，所以∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）①以M為交點的“8字形”有1個，以N為交點的“8字形”有1個，以O為交點的“8字形”有4個；
②根據角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據（1）中的結論得到∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，兩等式相減得到∠D-∠P=∠P-∠B，
即∠P=

1

2

（∠D+∠B），然后把∠D=40°，∠B=36°代入計算即可；
③由②的證明得到∠P=

1

2

（∠D+∠B）．

解答：解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°，∠C+∠D+∠BOC=180°，
而∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）①6；
②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠D-∠P=∠P-∠B，
即∠P=

1

2

（∠D+∠B），
∵∠D=40°，∠B=36°
∴∠P=

1

2

（40°+36°）=38°；    
（4）∠P=

1

2

（∠B+∠D）．
故答案為6．

點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．也考查了角平分線的定義．