Question

（2011•梅州）如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD．
（1）當△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP=

a

；（直接寫結果）
（2）連接AD、BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小是否會隨點P的移動面變化？請說明理由；
（3）如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小是否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

Answer 1

分析：（1）設AP的長是x，然后利用x表示出兩個三角形的面積的和，利用二次函數的性質即可求得x的值；
（2）首先證得△APD≌△CPB，然后根據三角形的外角的性質即可求解；
（3）旋轉的過程中，（2）中得兩個三角形的全等關系不變，因而角度不會變化．

解答：解：（1）設AP的長是x，則BP=2a-x，
∴S_△APC+S_△PBD=

1

2

x•

3

2

x+

1

2

（2a-x）•

3

2

（2a-x）
=

3

2

x²-

3

ax+

3

a²，
當x=-

b

2a

=-

- 3 a

2× 3 2

=a時△APC與△PBD的面積之和取最小值，
故答案為：a；

（2）α的大小不會隨點P的移動而變化，
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°；

（3）此時α的大小不會發生改變，始終等于60°．
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°．

點評：本題考查了旋轉的性質，以及全等三角形的判定與性質，正確證明兩個三角形全等是解題的關鍵．