Question

【題目】圖1、圖2中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形.

(1) 如圖1，線段AN與線段BM是否相等？證明你的結論；

(2) 如圖2，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）相等，證明見解析；（2）△CEF的形狀是等邊三角形.

【解析】

（1）等邊三角形的性質可以得出△ACN、△MCB兩邊及夾角分別對應相等，；兩個三角形全等，得出線段AN＝BM；（2）平角的定義得出∠MCN＝60°，通過證明△ACE≌△MCF，得出CE＝CF，根據等邊三角形的判定得出△CEF的形狀.

(1)∵△ACM與△CBN都是等邊三角形,

∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°.

∴∠MCN=60°,∠ACN=∠MCB,

在△ACN和△MCB中,

AC=MC, ∠ACN=∠MCB,CN=CB,

∴△ACN≌△MCB(SAS),∴AN=BM.

(2)∵∠ACM=60°,∠MCN=60°,∴∠ACM=∠MCN,

∵△ACN≌△MCB,

∴∠CAE=∠CMB.

在△ACE和△MCF中,

∠CAE=∠CMF，AC=MC, ∠ACE=∠MCF,

∴△ACE≌△MCF(ASA),

∴CE=CF,

∴△CEF的形狀是等邊三角形.